Mal é um advérbio (advérbio é toda palavra invariável que acompanha o verbo, adjetivo ou outro advérbio mudando o seu sentido) e é utilizado para indicar quando algo foi feito de forma incorreta ou errada. Também é substantivo, significando doença, angústia, tudo que é nocivo ou prejudicial.
Mau é um adjetivo (adjetivo é o que acrescenta uma qualidade ao substantivo),que serve para indicar algo de má qualidade ou alguém que faz maldades com o outro.
Dica: quando não souber qual deles usar, basta substituir na frase pelo seu antônimo. Exemplo:
Ele é muito mau./Ele é muito bom.
Ele é um mau profissional./Ele é um bom profissional.
Ela é do mal./Ela é do bem.
Eu estou dormindo mal./Eu estou dormindo bem.
Profª Jac Bagis 